Phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước $M(x_0,y_0).$

Phương pháp giải

– Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$
– Tiếp tuyến $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(A,B)$
và đi qua điểm $M(x_0,y_0)$
nên $\Delta:A(x-x_0)+B(y-y_0)=0, \, \, (A^2+B^2 \neq 0)$
- $\Delta$ tiếp xúc với $(C)\Leftrightarrow d\left(I,\Delta\right)=R$
Giải phương trình này ta tìm được $A, B.$

Ví dụ áp dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):(x+3)^2+(y+1)^2=1$
biết tiếp tuyến đi qua điểm $M(-4;1).$
LỜI GIẢI
- $(C)$ có tâm $I(-3;-1)$ và bán kính $R=1$.
- Tiếp tuyến $\Delta$ đi qua điểm $M(-4;1)$ nên có phương trình dạng $A(x+4)+B(y-1)=0$ $\Leftrightarrow Ax+By+4A-B=0, \, (A^2+B^2 \neq 0).$
- $\Delta$ tiếp xúc với $(C)\Leftrightarrow d\left(I,\Delta\right)=R$ $\Leftrightarrow \frac{|A-2B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=1$
Biến đổi ta được $-4AB+3B^2=0 \Leftrightarrow B =0 \vee -4A+3B=0.$
+ Nếu $B=0$ thì chọn $A=1$. Ta được phương trình tiếp tuyến: $x+4=0.$
+ Nếu $-4A+3B=0$ thì chọn $A=3, B=4$. Ta được phương trình tiếp tuyến: $3x+4y+8=0.$
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán với phương trình tương ứng là $$x+4=0; 3x+4y+8=0.$$

Bài tập tương tự

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+8y-5=0$
biết tiếp tuyến đi qua $M(-3;2).$
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+2y-15=0$
biết tiếp tuyến đi qua $M(6;-2).$

Xem tổng hợp đầy đủ dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn.